Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre, Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus[1] (movimiento) y vis (fuerza). Moméntum es una palabra directamente tomada del latín mōmentum, derivado del verbo mŏvĕre 'mover' En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente. Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un período dado: siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo. Conservación de la cantidad de movimiento Si con un cuerpo de masa m1 y velocidad v1 se aplica una fuerza a otro cuerpo de masa m2 y velocidad v2, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el principio de acción y reacción y tenemos que: m1.v1 = m2.v2 es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del choque, debe ser igual a la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere. Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice: En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones. Σm.v = 0 mi.vi = mf.vf ΔP = Δp1 + Δp2 Choque Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro y produciéndose contacto físico. Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico. En ambos casos ocurre una variación de la energía cinética que se transformará en calor que disiparán los cuerpos. 1 - Choque plástico o inelástico a) Velocidades de igual dirección y sentido. Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v1 que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m2 y velocidad v2, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos. La velocidad final será: m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos: v1f = v2f = vf m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2) b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario. En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será: m1.v1i - m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f igualmente: v1f = v2f = vf m1.v1i - m2.v2i = (m1 + m2).vf vf = (m1.v1i - m2.v2i)/(m1 + m2) La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento. 2 - Choque elástico a) Velocidades de igual sentido Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada uno será: v1f = (v2f + v2i).m2/m1 + v1i ó: v1f = v2f + v2i - v1i b) Velocidades de distinto sentido En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será: v1f = (v2f - v2i).m2/m1 + v1i El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad de movimiento. Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño. Choques o colisiones
Las manifestaciones de la conservación de cantidad de movimiento son más claras en el estudio de choques dentro de un sistema aislado de cuerpos. Se dice que el sistema es aislado, cuando no actúan fuerzas externas sobre ninguna de sus partes. Las leyes que describen las colisiones fueron formuladas por John Wallis, Christopher Wren y Christian Huygens, en 1668. Cuando dos objetos realizan una colisión, entre dichos objetos se producen fuerzas recíprocas de interacción y se dice que los objetos constituyen un sistema físico. Por otra parte, si las únicas fuerzas que intervienen son las fuerzas recíprocas se dice que el sistema está aislado.
Sobre la superficie terrestre no es posible obtener un sistema completamente aislado, pues todos los objetos están sometidos a fuerzas exteriores, tales como la fuerza de fricción o la fuerza de gravedad. Sin embargo se admiten como sistemas aislados los que están formados por objetos que se mueven horizontalmente sobre colchones de aire, capas de gas o superficies de hielo pues en estos casos el roce es mínimo y la fuerza resultante que actúa sobre los objetos que constituyen el sistema es nulo.
También se consideran como sistemas aislados aquellos casos en que las fuerzas exteriores son despreciables comparadas con la fuerza de interacción, como ocurren con bolas de billar, discos de plástico, esferas de acero, etc., que se mueven sobre superficies horizontales lisas.
	Se llama choques a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que: m1. + m2. = m1. + m2 Donde , , , son las velocidades iniciales y finales de las masas m1 y m2.
Características en los choques 1) Los dos cuerpos pueden desintegrarse en pedazos 2) Puede haber una transferencia de masa 3) Las dos masas se pueden unir para formar una sola 4) Las masas pueden permanecer invariables. Aun en este caso hay diversas posibilidades. Los cuerpos pueden permanecer completamente inalterados, como cuando chocan dos bolas de billar, o bien se pueden deformar, como cuando chocan dos automóviles.
	Choques entre dos cuerpos Los dos son libres antes de la colisión, y puede caracterizarse, cada uno, por su cantidad de movimiento constante. Durante la interacción breve, sus cantidades de movimiento cambian, porque cada uno siente una fuerza de impulsión debida al otro. Los impulsos que sienten los dos cuerpos son iguales y opuestos, porque las fuerzas son iguales y opuestas. La ganancia de cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la pérdida de cantidad de movimiento del otro.
Después del choque, los dos cuerpos también quedan libres, pero tienen cantidades de movimiento distintas. Sin embargo la suma de las cantidades de movimiento no cambia. Nótese que no todas las colisiones se describen en forma adecuada sólo con el impulso. A un cometa que entra al sistema solar y da una vuelta a causa del campo gravitacional del Sol, también se le puede considerar como que �chocó� con el Sol. El movimiento del cometa no se puede determinar mediante un breve impulso y el principio de conservación de cantidad de movimiento.
El momento total de un sistema de cuerpos que chocan no cambia antes, durante, ni después del choque. Esto se debe a que las fuerzas que actúan durante el choque son internas �fuerzas que actúan y reaccionan dentro del propio sistema-. Hay sólo una redistribución o compartimiento del momento que existía antes del choque.
Clasificación de las colisiones En una sola dimensión. Dos objetos físicos realizan una colisión en una dimensión, también llamada colisión frontal , cuando antes y después de la interacción el movimiento de dichos objetos se realiza a lo largo de una recta.
Si dos objetos constituyen un sistema aislado y realizan una colisión frontal, los cambios en las cantidades de movimiento de dichos objetos son iguales en módulo, pero de sentido opuesto. = - Si dos objetos constituyen un sistema aislado y realizan una colisión frontal, la cantidad total de movimiento antes y después de la colisión es la misma. (Ley de la conservación de la cantidad de movimiento)
	Colisiones Elásticas Cuando una bola de billar en movimiento choca de frente con otra en reposo, la móvil queda en reposo y la otra se mueve con la rapidez que tenía la primera. los objetos chocan rebotando sin deformación permanente y sin generación de calor. Cualesquiera que sean los movimientos iniciales, sus movimientos después del rebote son tales que tienen el mismo momento total. En un choque elástico en una dimensión, las velocidades relativas de las dos partículas son constantes.
Rebote Cuando hay rebote se produce una consecuencia interesante de la conservación del momento. Considere una bola de golf que choca con una bola de boliche que se encuentra en reposo. Si el choque es perfectamente elástico, tal manera que la pelota de golf rebote con sólo una pequeñísima pérdida de rapidez, la bola de boliche retrocede con casi el doble del momento que la pelota de golf incidente. Esto es congruente con la ley de la conservación del momento, porque si el momento inicial de la pelota de golf es positivo, entonces, después del rebote, es negativo.
El momento negativo de la pelota de golf es compensado por el mayor momento de la bola de boliche. El momento neto antes y después del choque es el mismo.
	Colisiones Perfectamente inelásticas Cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión. Los cuerpos coalecen (�se pegan�) al chocar. En tal caso, la energía mecánica no se conserva, porque no hay fuerzas externas que actúen sobre el sistema de dos partículas. Las velocidades finales son iguales ( = ). Considérese el caso de un carro de carga que viaja sobre una vía y choca con otro en reposo. Si ambos carros tienen la misma masa y se unen al chocar, ¿Es posible predecir la velocidad que tendrán unidos después del impacto? En cualquier choque, es posible decir que: Momento total antes del choque = Momento total después del choque
Esto es cierto incluso cuando los objetos en colisión se unen o traban durante el choque. Supóngase que el carro en movimiento se desplaza a 10 metros por segundo y sea m la masa de cada carro. Entonces por la conservación del momento. ( mtotal)antes = ( mtotal)después ( m= 10)antes = (2 m x ? ) después Puesto que después del choque se está moviendo el doble de masa, la velocidad debe ser la mitad de la que exista antes del choque, o sea 5 m/seg. Así serán iguales ambos miembros de la ecuación. Nótese la importancia de la dirección en estos casos. El momento como la fuerza son cantidades vectoriales.
Colisiones en dos dimensiones Dos objetos realizan una colisión de dos dimensiones o bidimensional, cuando antes y después de la colisión los objetos tienen libertad de moverse en un plano, según direcciones diferentes. Experimentalmente puede comprobarse que la ley de conservación de la cantidad de movimiento es válida también para choques bidimensionales. En este tipo de choques las velocidades inicial y final no están en una sola recta. Las cantidades iniciales de movimiento de las partículas en la colisión se pueden descomponer en dos componentes mutuamente perpendiculares, y Los componentes totales x e y deben satisfacer por separado la condición de conservación. El momento neto antes y después de cualquier choque permanece inalterable, inclusive cuando los objetos que chocan se muevan con ciertos ángulos entre ellos. Para expresar el momento neto al considerar diferentes direcciones, se requiere una técnica denominada adición vectorial.
El momento de cada objeto se expresa como un vector; el momento neto se encuentra combinando los vectores en forma geométrica. Una bomba que durante su caída explota en dos fragmentos. Los valores de momento de los fragmentos se combinan por adición vectorial para igualar el momento original de la bomba en caída.
	Se pueden aplicar los argumentos de la conservación de la cantidad de movimiento a situaciones en las cuales no es cero, pero uno o dos de sus componentes sí. En estos casos, se conservan los componentes correspondientes de . El problema de un proyectil que explota en vuelo es un ejemplo en el cual se puede seguir este camino. La fuerza sobre el sistema no es cero, porque el sistema está sujeto a la gravedad. Sin embargo, esta fuerza no tiene componentes horizontales, y por tanto se conservan los componentes horizontales de . Se presentan estos casos más complicados no como un tema de estudio más profundo sino para conocer situaciones más generales y apreciar que aun cuando la idea de la conservación del momento es elegantemente simple, su aplicación a choques más complicados puede ser difícil especialmente si no se domina la adición vectorial.
Cualquiera que sea la naturaleza de un choque o por muy complicado que se presente, el momento total antes, durante y después de él se mantiene inalterable. Este concepto extremadamente útil permite aprender mucho de los choques haciendo caso omiso de la forma de las fuerzas que interactúan en ellos.

Impulso y Cantidad de Movimiento

Existen varias aplicaciones para el impulso y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energía a la bola mediante un choque y a su vez, la bola también transmite energía potencial al chocar con otras bolas.

Una gran parte de nuestra información acerca de las partículas atómicas y nucleares, se obtiene experimentalmente observando los efectos de choque entre ellas. A una mayor escala cuestiones como las propiedades de los gases se pueden entender mejor en función de choques de las partículas, y encontraremos que de los principios de la conservación de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía, podemos deducir mucha información acerca de los fenómenos de choques.

Impulso y cantidad de movimiento.- En un choque obra una gran fuerza en cada una de las partículas que chocan durante un corto tiempo; un bat que golpea una pelota de béisbol o una partícula nuclear que choca con otra son ejemplos típicos. Por ejemplo, durante el intervalo muy corto de tiempo que el bat está en contacto con la pelota se ejerce sobre esta una fuerza muy grande. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja, que en general no se puede determinar. Tanto la pelota como el bat se deforman durante el choque. Fuerzas de este tipo se llaman fuerzas impulsivas.

Supongamos que la curva de la figura 2 muestra la magnitud de la fuerza que realmente obra en un cuerpo durante un choque. Supongamos que la fuerza tiene una dirección constante. El choque comienza en el tiempo t1 y termina en el tiempo t2, siendo la fuerza 0 antes y después del choque.

De la ecuación I podemos escribir el cambio de cantidad de movimiento dp de un cuerpo en el tiempo dt durante el cual obra una fuerza F así:

dp = F dt

Podemos obtener el cambio de cantidad de movimiento del cuerpo durante un choque integrando en el tiempo del choque. Esto es,

p2 - p1 = I dp = I F dt

La integral de una fuerza en el intervalo durante el cual obra la fuerza se llama impulso de la fuerza. Por consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

La fuerza impulsiva representada en la figura 2 se supone que es de dirección constante. El impulso de esta fuerza I F dt. está representado en magnitud por el área de la curva fuerza-tiempo.

Fenómenos de choque.- Consideremos ahora un choque entre dos partículas, tales como partículas de masa m1 y m2, durante el breve choque, esas partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En cualquier instante F1 es la fuerza ejercida sobre la partícula 1 por la partícula 2 y F2 es la fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la partícula 1. En virtud de la tercera Ley de Newton esas fuerzas son iguales en cualquier instante, pero en sentido contrario. además, cada fuerza obra durante el mismo período de tiempo, est es, el tiempo del choque,

dt = t2 - t1

Dos “partículas” m1 y m2 en choque, experimentan fuerzas iguales y puestas en la dirección de la línea de sus centros, acuerdo con la tercera ley de Newton.

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula resultante del choque es:

En esta expresión
es el valor medio de la fuerza F1 durante el intervalo de tiempo.

El cambio de cantidad de movimiento de la partícula 2 atribuible al choque es:

En esta expresión
es el valor medio de la fuerza F2 durante el intervalo de tiempo.

Si no actúan otras fuerzas en las partículas, entonces
y
dan el cambio total de la cantidad de movimiento para cada una. Pero hemos visto que en cada instante F2 es igual a - F1, de modo que
es igual a -
, y por consiguiente:

.

Si consideramos las dos partículas como constituyendo un sistema, la cantidad de movimiento total del mismo es:

P = p1 + p2.

y el cambio total de cantidad de movimiento del sistema como resultado del choque es cero, esto es:

Por consiguiente, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. Las fuerzas impulsivas que obran durante el choque son fuerzas internas que no tienen efecto en la cantidad de movimiento total del sistema.

Si consideramos después un sistema de 3, 4, o, de hecho de un número cualquiera de partículas que sufren colisiones entre si por una simple extensión del método usado para dos partículas, podemos demostrar que la cantidad del movimiento del sistema se conserva. El único requisito es que no obren fuerzas externas sobre el sistema.

Ahora el estudiante se preguntará por qué los fenómenos de choque se han discutido en función del impulso. De echo, el principio de conservación de la cantidad de movimiento ya se ha deducido antes. Todo lo que debemos reconocer para sistemas en los cuales ocurren colisiones, es que las fuerzas de choque son fuerzas internas, y para tales sistemas surge inmediatamente el principio de la conservación.

Una razón para considerar la naturaleza de impulso de un choque es que ilustra a una clase importante de problemas sobre como ocurre la conservación de la cantidad de movimiento. Sin embargo, una razón más importante es que nos permite explicar por qué casi siempre suponemos conservación de cantidad de movimiento durante un choque, aun cuando obren fuerzas externas sobre el sistema.

Cuando un bat le pega a una pelota de béisbol un bastón de golf le pega a una pelota de golf, o una bola de billar le pega a otra es evidente que obran fuerzas externas sobre el sistema; por ejemplo, la gravedad o la fricción ejercen fuerzas sobre esos cuerpos; esas fuerzas externas pueden no ser las mismas sobre cada cuerpo que choca, ni necesariamente se anulan por otras fuerzas externas durante el choque y suponer conservación de la cantidad de movimiento con tal que, como es casi siempre cierto,

Las fuerzas externas sean insignificantes en comparación con las fuerzas impulsivas de choque. Como resultado de ello, el cambio de cantidad de movimiento de una partícula que sufre un choque, cambio que provenga de una fuerza externa, es insignificante en

En la figura a la izquierda se puede observar,

que durante un choque la fuerza impulsiva, Fimp es

generalmente mucho mayor que cualquiera de las

fuerzas externas Fext que puedan sobre el sistema.

Comparación con el cambio de cantidad de movimiento de una partícula producido por la fuerza impulsiva de choque.

Por ejemplo, cuando un bate le pega a una pelota de béisbol el choque dura sólo una fracción de segundo, ya que el cambio de cantidad de movimiento es grande y el tiempo de choque es mas pequeño, se deduce de:

que la fuerza impulsiva media

es sumamente grande. Comparada con esta fuerza externa de gravedad es insignificante. Durante el choque podemos impunemente pasar por alto esta fuerza al determinar el cambio de cantidad de movimiento de la pelota.

Si llamamos J al impulso entonces tenemos:

De tal manera que tratamos de conservar J constante conforme
se hace más pequeña. Esto se puede lograr suponiendo una fuerza F más y mas grande, o sea
. En el límite, cuando
para que J sea constante para un valor finito. Si los choques ocurren en el tiempo cero dado que las fuerzas externas son inapreciables comparadas con la fuerza de choque infinita.

En la practica, por consiguiente, todo lo que se requiere para justificar el uso del principio de la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de partículas, poco antes de que choquen, es igual a la cantidad de movimiento del sistema, poco después de que las partículas han chocado.

Choques en una dimensión.-

El problema de determinar el movimiento de los cuerpos después del choque, conociendo el movimiento antes del mismo, puede moverse solamente si conocemos exactamente las fuerzas de choque y podemos resolver las ecuaciones del movimiento. A menudo esas fuerzas no se conocen. Sin embargo el principio de la conservación de la cantidad de movimiento debe ser valido durante el choque, así como el de la conservación de la energía total. Aun cuando podemos no conocer los detalles de la interacción, esos principios pueden usarse para predecir los resultados del choque.

Los choques o están limitados a casos en los cuales dos cuerpos entran en contacto en el sentido usual. También se puede decir que chocan cuerpos que no entran en contacto por que ejercen fuerzas entre si y que alternan mutuamente sus movimientos. Los átomos pueden interactuar mediante fuerzas eléctricas o magnéticas que ejercen entre si, los núcleos pueden actuar mediante fuerzas nucleares y los cuerpos astronómicos pueden actuar mediante fuerzas gravitacionales tratando los cuerpos que interactuan como un sistema, podemos usar los principios de conservación para estudiar el movimiento de esos cuerpos.

Las colisiones ordinariamente se clasifican de acuerdo con lo que se conserve o no durante el choque la energía cinética. Cuando se conserva la energía cinética durante un choque, se dice que el mecanismo es elástico; si no es así, el choque es inelástico. Las colisiones de las partículas atómicas y subatómicas, a veces son elásticas. De hecho estas son las únicas colisiones verdaderamente elásticas que se conocen. Sin embargo, a menudo podemos tratarlas como aproximadamente elásticas, como en el caso de choques de bolas de marfil o de vidrio. La mayoría de los choques son inelásticos. Cuando dos cuerpos quedan unidos después de un choque se dice que este es completamente inelástico. Por ejemplo el choque entre una bala y su blanco es completamente inelástico cuando la bala queda ahogada en el blanco. Él termino completamente inelástico no significa que pierda toda la energía cinética inicial; Como veremos; quiere decir también que la perdida es tan grande como lo permite la cantidad de conservación de la cantidad del movimiento.

Aun cuando las fuerzas de colisión no se conozcan, el movimiento de las partículas después de la misma puede determinarse a partir del movimiento antes del choque con tal de que este sea completamente inelástico, o bien, si es elástico, con tal que se efectúe en una sola dimensión el movimiento relativo después de este es a lo largo de la misma línea que el movimiento relativo antes del mismo.

Consideremos primero un choque elástico en una sola dimensión.

Podemos imaginar dos esferas lisas, que no rigen, moviéndose inicialmente en la dirección de la línea que une sus centros, chocando frente a frente y moviéndose en la misma línea recta sin rotación después del choque. La situación se ilustra en la figura que tenemos de abajo.

Debido a su forma esférica, esos cuerpos ejercen fuerza entre sí, durante el choque, que están a lo largo de la línea inicial del movimiento de tal manera que el movimiento final esta también él la misma línea.

Las masas de la esfera son m1 y m2 siendo las velocidades componentes u1 y u2 antes del choque y v1 y v2 después del choque.

m1 m2 m1 m2

u1 u2 v1 v2

u1-u2 v2-v1

Antes del choque Después del choque

Llamamos la dirección positiva de la cantidad de movimiento y de la velocidad hacia la derecha. Entonces del principio de la conservación de la cantidad de movimiento obtenemos

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

y de la conservación de la energía cinética obtenemos

1/2 m1u12 + 1/2 m2u22 = 1/2 m1v12 + 1/2 m2v22

La ecuación de la cantidad del movimiento se puede escribir

m1(u1 - v1) = m2 (v2 - u2) (1º)

y la ecuación de la energía se puede escribir

m1(u12 - v12) = m2 (v22 - u22) (2º)

dividiendo miembro a miembro la ecuación 2º entre la 1º obtenemos

u1 + v1 = v2 + u2 (3º)

Nótese que en un choque elástico en una dimensión, la velocidad mínima de acercamiento antes del choque es igual a la velocidad relativa de separación después del mismo porque la ecuación 3º se puede escribir también así.

u1 - u2 = v2 - v1

Para determinar las velocidades v1 y v2 después del choque a partir de las velocidades u1 y u2 antes del choque, podemos usar dos de las tres ecuaciones numeradas anteriormente. Así de la ecuación 3º

v2 = u1 + v1 - u2

reemplazando este valor en la ecuación 1º y despejando v1, obtenemos

v1 = (m1 - m2) u1 + (2m2) u2

(m1 + m2) (m1 + m2)

Análogamente poniendo v1 = v2 + u2 - u1 en la ecuación 3º despejando v2, obtenemos

v2 = (2m1) u1 + (m2 - m1) u2

(m1 +m2) (m1+ m2)

Hay varios casos de especial interés. Por ejemplo, cuando las partículas que chocan tienen la misma masa, m1 es igual a m2 las dos ecuaciones anteriores se transforman en

v1 = u2 v2 = u1

Esto es, un choque elástico de una dimensión de dos partículas de igual masa, las partículas simplemente intercambian sus velocidades durante el choque.

Otro caso de interés es aquel en el cual una partícula m2 esta inicialmente en el reposo. Entonces u2 es igual a cero y

v1 = (m1 - m2) u1 v2 = (2m1) u1

(m1 +m2) (m1 +m2)

Por supuesto que, sí m1 =m2 también, entonces v1 = 0 y v2 = 0 como era de esperarse. La primera partícula se “para en seco” y la segunda “arranca” con velocidad que tenia la primera originalmente. En cambio, si m2 es mucho mayor que m1, obtenemos

v1 " -u1 y v2 " 0

Esto es, cuando una partícula ligera choca con una de mucha mayor masa que esta en reposo, la velocidad de la partícula ligera aproximadamente se invierte y la partícula de gran masa permanece aproximadamente en reposo. Por ejemplo, supongamos que una pelota se deja caer verticalmente sobre una superficie horizontal fija a la tierra. Esto es de hecho un choque entre la pelota y la tierra. Si el choque es elástico, la pelota botara con una velocidad invertida y llegara a la misma altura a la de la cual caerá finalmente, si m2 es mucho menor que m1, obtenemos

v1 " u1 v2 " 2u1

Esto significa que la velocidad de la partícula incidente de gran masa casi no cambia con el choque contra la partícula ligera fija pero la partícula ligera rebota con una velocidad aproximadamente doble de la velocidad e la partícula incidente. El movimiento de una bola de boliche casi no es afectado porque choca contra una pelota de plástico del mismo tamaño inflada con aire pero la pelota rebota rápidamente.

Los neutrones producidos por un reactor por la fisión de los átomos de uranio se mueven muy aprisa y tienen que ser frenado si se quiere que produzcan mas fisiones. Suponiendo que se efectúan choques elásticos con los núcleos en reposo, ¿qué neutrón debe escogerse para moderar los neutrones en el reactor?

Sabemos de las consideraciones anteriores, que si los blancos estacionarios fueran núcleos de gran masa, como el plomo, los neutrones simplemente rebotarían con una velocidad casi igual a la que tenían inicialmente. Si los blancos estacionarios fueran mucho más ligeros que los neutrones, como los electrones, los neutrones aun seguirían de frente con la misma velocidad que tenían inicialmente. En cambio, si los blancos son partículas de masa casi igual. Los neutrones quedarían casi al reposo al chocar con ellos. Pos consiguiente, el retardador más efectivo será él hidrogeno cuyo núcleo (el protón) tienen casi la misma masa que el neutrón. Hay otras consideraciones que afectan la elección de un moderador para neutrones, pero no teniendo en cuenta las condiciones de cantidad de movimiento, la elección se limita a los elementos más ligeros.

Si un choque es inelástico ya no podemos practicar el principio de la conservación de la energía cinética. La energía cinética inicial puede ser menor al valor inicial, convirtiéndose finalmente la diferencia en calor o en energía potencial de deformación en el choque. En todo caso, el principio de la conservación de la cantidad del movimiento sigue siendo valido. De cualquier modo, debemos usar el principio de la conservación de la energía total y del de la conservación de la energía cinética.

Consideremos finalmente un choque completamente inelástico. Las dos partículas permanecen en contacto después del choque, de modo que habrá una velocidad final común v. usando el principio de la conservación de la materia.

m1u2 + m2u2 = (m1 + m2)v 4º

Esta ecuación determina v cuando se conocen u1 y u2.

Problemas:

Problema n° 1) Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?.

Desarrollo

Datos:

m₁ = 0,01 kg

m₂ = 2 kg

v_2i = 0 m/s

v_1f = 0 m/s

Δy= 0,12 m

En el instante del impacto:

Δ p_i = Δ p_f

p_1i + p_2i = p_1f + p_2f
m₁.v_1i + m₂.v_2i = m₁.v_1f + m₂.v_2f

pero como v_2i = 0 m/s y v_1f = 0 m/s:

m₁.v_1i = m₂.v_2f (2)

Luego del impacto el péndulo adquiere una velocidad inicial que se reducirá a cero debido a la aceleración de la gravedad. Para el péndulo balístico resulta:

v_2i ² = 2.g.Δy
v_2i ² = 2.10 m/s ².0,12 m
v_2i ² = 2,4 m ²/s ²
v_2i = 1,55 m/s

De (2):

v_1i = m₂.v_2f/m₁
v_1i = 2 kg.1,55 (m/s)/0,01 kg
v_1i = 309,8 m/s

Problema n° 2) Una partícula A de masa m_A se encuentra sujeta por medio de un resorte comprimido a la partícula B de masa 2.m_A, si la energía almacenada en el resorte es de 60 J ¿qué energía cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?.

Desarrollo

Datos:

m_A

m_B = 2.m_A

E _ci = 60 J

v _Ai = v _Bi = 0 m/s

Δ p_i = Δ p_f

p _Ai + p _Bi = p _Af + p _Bf
m_A.v _Ai + m_B.v _Bi = m_A.v _Af + m_B.v _Bf
m_A.v _Ai + 2.m_A.v _Bi = m_A.v _Af + 2.m_A.v _Bf

Como v _Ai = v _Bi = 0 m/s:

0 = m_A.v _Af + 2.m_A.v _Bf
m_A.(v _Af + 2.v _Bf) = 0
v _Af + 2.v _Bf = 0
v_{A f} = - 2.v_{B f} (3)

pero:

Δ E_c = 0
E_{c i} = E_{c f}
E_{c i} = E_{c Af} + E_{c Bf}
E_{c i} = m_A.v _Af ²/2 + m_B.v_{B f} ²/2

E_{c i} = m_A.v_{A f} ²/2 + 2.m_A.v_{B f} ²/2

Reemplazando por (3):

E_{c i} = m_A.v_{A f} ²/2 + 2.m_A.(- v_{A f}/2) ²/2
E_{c i} = m_A.v_{A f} ²/2 + m_A.v_{A f} ²/4
E_{c i} = 2.m_A.v_{A f} ²/4 + m_A.v_{A f} ²/4

2.E_{c i} = 3.m_A.v_{A f} ²/2

Pero:

m_A.v _Af ²/2 = E_{c Af}
3.E_{c Af} = 2.E _ci
E_{c Af} = 2.60 J/3
E_{c Af} = 40 J

E_{c i} = E_{c Af} + E_{c Bf}
E_{c Bf} = E_{c i} - E_{c Af}
E_{c Bf} = 60 J - 40 J
E_{c Bf} = 20 J

Problema n° 3) Un cuerpo de masa m₁ = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con una velocidad inicial v_1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m₂ = 5 kg cuya velocidad inicial es v_2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?.

Desarrollo

Datos:

m₁ = 2 kg

m₂ = 5 kg

v_1i = 10 m/s

v_2i = 3 m/s

k = 1120 N/m

v_1f = v_2f = v_f

Δ p_i = Δ p_f

p_1i + p_2i = p_1f + p_2f
m₁.v_1i + m₂.v_2i = m₁.v_1f + m₂.v_2f
m₁.v_1i + m₂.v_2i = (m₁ + m₂).v_f

v_f = (m₁.v_1i + m₂.v_2i)/(m₁ + m₂)
v_f = (2 kg.10 m/s + 5 kg.3 m/s)/(2 kg + 5 kg)
v_f = 5 m/s (4)

La fuerza elástica del resorte será:

F = k.Δx

Y la energía cinética almacenada en el instante de máxima compresión es:

E_c = m.v_f ²/2

Pero la energía cinética es igual al trabajo realizado por la fuerza del resorte:

E_c = L
E_c = F. Δx
E_c = k.Δx.Δx
E_c = k.Δx ²
m.v_f ²/2 = k.Δx ²
m.v_f ²/2.k = Δx ²

Para el caso:

(m₁ + m₂).v_f ²/2.k = Δx ²

De la ecuación (4):

Δx ² = [(2 kg + 5 kg).(5 m/s) ²/2]/1120 N/m
Δx ² = (87,5 kg.m ²/s ²)/1120 N/m
Δ x = 0,28 m